נולד באוסטרוב-מזובייצק (פולין), כ"ב בניסן תרנ"ח (1898), נפטר בירושלים, כ"ג בשבט תשל"ה (1975).

אביו, ר' נתן, נמנה עם חסידי גור, והיה חבר ועד הקהילה בוורשה.

למד בישיבה ע"ש הרב הייטלר, רבו המובהק היה הרב רפאל זאב סוקולוב (תלמיד ה"אבני נזר").

הוסמך להוראה על ידי הרב יחזקאל צבי מיכלסון הי"ד ועל ידי הרב שלמה דוד כהנא.

כמו כן למד בסמינר למורים ורבנים בהנהלת הד"ר פוזננסקי, ובאוניברסיטת ורשה – פילוסופיה, פסיכולוגיה ופדגוגיה.

בשנת תר"ץ (1930) התמנה לרב העיר גרודז'ונדז במערב פולין.

אחרי כיבושה של ורשה בידי הגרמנים, בסוף שנת תרצ"ט (1939), נמלט לבדו לווילנה, ריגה, שטוקהולם, אמסטרדם, בריסל, אנטוורפן ופריז והגיע לארץ ישראל. מיד עם הגיעו הצטרף למכון התלמוד הישראלי. אשתו, לובא מושא לבית גורביץ (חב"ד), נספתה בשואה עם שני ילדיהם.

כשהבין שאיבד את כל משפחתו, התגייס כרב לצבא פולין ונדד אתו בפרס, עירק וסוריה. במסגרת שירותו העביר שיעורים בקהילות היהודיות שפגש וכונה "החכם אברהם מפולין". סייע להעביר מאות פליטים יהודיים מטהרן לארץ ישראל בדרך בלתי ליגלית, וביניהם גם את ילדי טהרן.

בשנת תש"ה (1945) השתחרר וחזר לעבודתו במכון התלמוד הישראלי. (התחיל לעבוד בהוצאת הש"ס הארץ-ישראלי מיסודו של הרב מאיר בר אילן?). בתש"ח (1948) התמנה על ידי הוועד הלאומי כרב לאסירי המחתרות בעתלית, ועד להקמת המדינה היה נוסע אליהם מירושלים במסירות נפש. בהפוגה הראשונה יצא בשליחות המרכז העולמי של המזרחי לאירופה, לעודד את שארית הפליטה לעלות לארץ.

עם כינון המדינה התחיל לעבוד במרכז לחינוך שליד המרכז העולמי של המזרחי בירושלים, והתמיד בעבודה זו במשך עשרים וחמש שנה. אשתו בזיווג שני, בתיה בת הרב ישראל דב הכהן, הרב של הר הכרמל. הרב ברומברג לא השאיר אחריו ילדים. לאחר פטירתו הקימה אלמנתו בתיה בשיתוף עם חבריו ועדה לפרסום הכתבים שהשאיר אחריו.

הרבה לפרסם מאמרים בכתבי עת שונים, וכתב את הספרים שלהלן:

"המוסר היהודי" – יצא לאור בתרצ"ט, בשפה הפולנית, ולא שרד ממנו אפילו עותק אחד

חומת ירושלים – פירוש לירושלמי מסכת סנהדרין ומכות, ירושלים תש"ג

רש"י וירושלמי – ירושלים תש"ה

מקורות לפסקי הרמב"ם – ירושלים תש"ז

מגדולי התורה והחסידות – סדרה בת 24 ספרים, ירושלים תש"ט–תשכ"ט

אחרי פטירתו הוציאו לאור את ספרו "פירושי הראשונים לאגדות חז"ל" - ירושלים תש"ה

לקריאה - חומת ירושלים